Číslo se nazývá mazané, jestliže počínaje od jeho třetí číslice zleva platí: Každá jeho číslice je součtem všech číslic ležících nalevo od něj. a) Uveď dvě největší mazané čísla b) Kolik je všech čtyřmístných mazaných čísel Prosím je to důležité děkuji
Odpovědi
Diskuze
pohybujeme se v oboru přirozených čísel a hledáme číslo abcd, kde platí:
a != 0
a + b = c
a + b + c = d
d < 10
dosadíme 2. rovnici do 3. a dostaneme:
c + c = d
2c = d
d je tedy číslo dělitelné 2 a zároveň menší než 10, což nám dává pouze 4 možnosti: 2,4,6 a 8.
Protože platí, že c = d/2, může dvojice cd nabývat pouze následujících hodnot:
12
24
36
48
zbývá tedy pro c = (1,2,3,4) najít a,b pro která platí
a + b = c
a != 0
vzhledem k malému počtu možností to jde udělat jednoduše ručně, aniž bysme riskovali, že něco vynecháme, tedy:
pro c = 1
1 + 0
pro c = 2
1 + 1
2 + 0
pro c = 3
1 + 2
2 + 1
3 + 0
pro c = 4
1 + 3
2 + 2
3 + 1
4 + 0
Tím jsme dostali všechny možné čtveřice abcd splňující zadání:
1012
1124
2024
1236
2136
3036
1348
2248
3148
4048
Jejich spočítáním zjistíme, že jich je 10.
Nyní se vrátíme k otázce a) - 2 největší mazaná čísla.
Hledáme tedy, zda jde některé z našich čísel abcd ještě rozšířit o e, popř. f, aby platilo
e = a + b + c + d
f = a + b + c + d + e
což se dá zjednodušit na
e = 2d
f = 2e
a zároveň e<10 a f<10
Pro d = 6 a d = 8 už bysme se s e dostali nad 10, takže nám zbývá jen d = 4 a d = 2
Řadu, kde d = 4 můžeme už rozšířit jen o e, s f už bysme se dostali nad 10:
11248
20248
Oproti tomu řadu, kde d = 2, můžeme rozšířit o e i f:
101248
Další rozšíření už není možné, protože s případným g bysme se opět dostali nad deset.
Je tedy zřejmé, že 101248 je největší mazané číslo a 20248 je druhé největší.
Předpokládám, že úlohu lze řešit i poněkud "vědečtějším" postupem (číselné řady nebo matice nebo tak něco), ale myslím, že si můžeme vystačit i s obyčejnými kupeckými počty :-)
Ahoj Niclas