Aplikace integrálního počtu
Ahoj, může mi někdo poradit s těmito příklady?
a) určete objem rotačního válce o poloměru r a výšce h.
b)určete objem rotačního kolmého kužele o poloměru podstav r1a r2(r1 je větší než r2) a výšce h.
c) objem rotačního elipsoidu o poloosách a, b
d) objem kulové úsečky o výšce h odříznutého rovinou z koule o poloměru r.
e)roatčního paraboloidu vzniklého otáčením o paraboly ynadruhou=2px ( p je zádana kaldná konstanta na intervalu ( 0,a) kolem osy x.
Díky moc.
a) určete objem rotačního válce o poloměru r a výšce h.
b)určete objem rotačního kolmého kužele o poloměru podstav r1a r2(r1 je větší než r2) a výšce h.
c) objem rotačního elipsoidu o poloosách a, b
d) objem kulové úsečky o výšce h odříznutého rovinou z koule o poloměru r.
e)roatčního paraboloidu vzniklého otáčením o paraboly ynadruhou=2px ( p je zádana kaldná konstanta na intervalu ( 0,a) kolem osy x.
Díky moc.
Odpovědi
Diskuze
V = ∫dV
V = ∫S*dy
S=π*r²
V = (integrujeme od 0 do h) π*r²∫dy
V = π*r²*y (dosazujeme meze od 0 do h)
V = π*r²*h - π*r²*0
V = π*r²*h
==========
Umístím kužel do souřadného systému tak, aby jeho osa ležela v ose x (snadnější pro integraci),
směrnice tvořící přímky kužele je: k=h/(r1-r2)
rovnice tvořící přímky:
y=k*x+q
umístím přímku do počátku souřadnic a osa kužele leží v ose: x (snadnější integrace):
q=0
y=k*x+q
y=h/(r1-r2) * x
r1>r1
pro x=x2 bude y=r2
pro x=x1 bude y=r1
x1-x2=h
V = ∫dV
V = ∫S*dx
S=S(x); (řez kužele není konstantní, plocha se mění s osou: x)
S=π*r²
r=y (poloměr řezu kužele se mění, není konstantní jako u válce)
V = ∫π*r²*dx
V = π∫r²*dx
r=y (poloměr řezu kužele se mění není konstantní jako u válce)
V = π∫y²*dx
V = π∫(h/(r1-r2) * x)²*dx
V = π*(h/(r1-r2))² ∫x²*dx
V = (integrujeme od x2 do x1) π*(h/(r1-r2))²∫x²*dx
V = π*(h/(r1-r2))²* [x³/3] (dosazujeme od x2 do x1)
V = π*(h/(r1-r2))²* [x1³/3 - (x2)³/3 ]
V = π*(h/(r1-r2))² / 3* [x1³ - (x2)³ ]
r1=h/(r1-r2) * x1
r2=h/(r1-r2) * x2
V = π*(h/(r1-r2))² / 3 * [( r1 * (r1-r2)/h)³ - ( r2 * (r1-r2)/h)³ ]
V = π / 3 * [ (r1)³ * ((r1-r2)/h)¹ - (r2)³ * ((r1-r2)/h)¹ ]
V = π / 3 * ((r1-r2)/h)¹ * [ (r1)³ - (r2)³ ]
a³-b³ = (a-b)*(a²+ab+b²)
V = π / 3 * ((r1-r2)/h)¹ * [ (r1)³ - (r2)³ ]
V = π / 3 * ((r1-r2)/h)¹ * (r1 - r2) * [ (r1)² + r1*r2 + (r2)² ]
x1=((r1-r2)/h)¹ * r1
x2=((r1-r2)/h)¹ * r2
x1-x2=h
V = π / 3 * h * [ (r1)² + r1*r2 + (r2)² ]
===
https://cs.wikipedia.org/wiki/Komol%C3%BD_ku%C5%BEel
Umístíme elipsoid do souřadného systému tak, aby rotoval kolem osy: x
Řezy v ose x jsou pak kružnicemi.
Budeme počítat jen 1/2 objemu, proto je celkový objem elipsoidu dvojnásobný (symetrie podle roviny X-Z)
V = 2 * ∫dV
V = 2* ∫S*dx
S=S(x); (řez elipsoidu není konstantní, plocha se mění s osou: x)
S=π*r²
r=y (poloměr řezu elipsoidu se mění, není konstantní jako u válce)
V = 2* ∫π*r²*dx
V = 2π ∫r²*dx
V = 2π ∫y²*dx
pro rovnici elipsy platí:
(x/a)² + (y/b)² = 1
V = 2π ∫b²*(1 - (x/a)²)*dx
V = (integrujeme od 0 do a) 2πb² ∫(1 - (x/a)²)*dx
V = 2πb² [x - x³/(3a²)] (dosazujeme meze od 0 do a)
V = 2πb² ( (a - a³/(3a²)) - (0 - 0³/(30²)) )
V = 2πb² (a - a³/(3a²))
V = 2πb² (a - a/3)
V = 2πb² (2/3a)
V = 4/3πab²
===========
https://cs.wikipedia.org/wiki/Elipsoid