povrch koule
Rád bych do detailu rozebral vzorec pro výpočet povrch koule:
4*PI*r^2
Zajímá mě jak k němu dojít.
4*PI*r^2
Zajímá mě jak k němu dojít.
Odpovědi
Diskuze
R - poloměr koule
Na výšce (koule): y, je poloměr kružnice: x (poloměr rovnoběžky): x*x+y*y=R*R (Pythagorova věta)
a také tedy platí:
x/R=sin(α)
y/R=cos(α)
(α je vlastně podobně jako na Zemi zeměpisná šířka - akorát volím počátek souřadnic na pólu a ne na rovníku)
(jedná se o transformaci z kartézských do polárních souřadnic)
Na výšce: y je poloměr x, pak platí pro obvod rovnoběžky:
o(x)=2Pi*x
dosadím za x: x=R*sin(α)
Na souřadnici úhlu α (koule) je poloměr rovnoběžky:
o(α)=2Pi*R*sin(α)
Na souřadnici úhlu α (koule) je plocha pásu koule: dS=o(α)*ds
ds - je délka malého oblouku kružnice (poledníku) na poloměru x:
y/R=cos(α)
y=R*cos(α)
dy=-R*sin(α)*dα
x/R=sin(α)
x=R*sin(α)
dx=R*cos(α)*dα
ds*ds=dx*dx+dy*dy
ds=R*dα
Plocha výšky pásu kulové plochy je pak (kulový pás - je pojem):
dS = o(α) * R*dα
Integruji v mezích od 0 do Pi/2 (od pólu po rovník a získám plochu polokoule)
S=Integrate(o(α) * R*dα)
S=Integrate(2Pi*R*sin(α) * R*dα)
vytknu konstanty před integrál:
S=2Pi*R*R * Integrate(sin(α)*dα ))
(Neurčitý) Integrál je nyní velmi jednoduchý, po integraci:
S=-2Pi*R*R * cos(α) + C
Integruji v mezích (0,Pi/2)
Dosadím:
Určitý Integrál:
S=[-2Pi*R*R * cos(Pi/2)] - [-2Pi*R*R * cos(0)]
S=[-2Pi*R*R * 0] - [-2Pi*R*R * 1]
S=2Pi*R*R * 1
S=2Pi*R*R (tak toto je plocha jedné celé polokoule)
A protože je koule tvořena dvěma polokoulemi platí:
S(koule)=2*S(polokoule)
S=4Pi*R*R
=========
cs.wikipedia.org/wiki/Guldinova_v%C4%9Bta
Povrch koule se tím sice odvodí, ale není to důkaz - jen hrátky se vzorečky.