Kombinatorické rovnice
(x) (x-3)
+ = 2x -3
(1) (x-4)
Jedná se o rovnice s kombinační čísly, bohužel nevím, jak to napsat.
Počítala jsem, ale vychází mi pořád něco jako:
x + x-3 = 2x -3
Své řešení přidám. Výsledek mi nevychází a já netuším, kde jsem udělala chybu...
+ = 2x -3
(1) (x-4)
Jedná se o rovnice s kombinační čísly, bohužel nevím, jak to napsat.
Počítala jsem, ale vychází mi pořád něco jako:
x + x-3 = 2x -3
Své řešení přidám. Výsledek mi nevychází a já netuším, kde jsem udělala chybu...
Odpovědi
Diskuze
u rovnic s kombinačními čísly je naprosto esenciální začít určením podmínek řešitelnosti. Zadání jsem z přiložené fotografie přečetl následovně:
nCr(x, x-1) + nCr(x-3, x-4) = 2x - 3,
kde nCr(a,b) značí kombinační číslo a nad b.
Zavedeme si tedy počáteční podmínky.
pro nCr(a,b), kde a a b jsou nezáporná celá čísla nutně platí tři podmínky: a >= 0 ∧ b >= 0 ∧ a >= b, z tranzitivity částečného uspořádání tedy plyne, že stačí uvažovat o podmínkách a >= b ∧ b >= 0.
Pro naše zadání tedy platí
x >= x-1 ∧ x-1 >= 0 ∧ x-3 >= x-4 ∧ x-4 >= 0 ∧ x ∈ N ∪ {0}, což lze redukovat na podmínky
x - 1 >= 0 ∧ x - 4 >= 0 ∧ x ∈ N ∪ {0}, tedy
x >= 1 ∧ x >= 4 ∧ x ∈ N ∪ {0}, tedy
x >= 4 ∧ x ∈ N ∪ {0}
Nyní použijeme vzorec, který platí pro kombinační čísla za stanovených podmínek, tedy že
nCr(a,b) = a!/(b! * (a-b)!)
nCr(x, x-1) + nCr(x-3, x-4) = 2x - 3
x!/((x-1)! * 1!) + (x-3)! / ((x-4)! * 1!) = 2x - 3
x!/(x-1)! + (x-3)!/(x-4)! = 2x - 3
V tuto chvíli využijeme vlastnosti, že 0! = 1 a pro každé n >= 1 platí, že n! = n*(n-1)!
x*(x-1)!/(x-1)! + (x-3)*(x-4)!/(x-4)! = 2x - 3
Než se dopustíme krácení zlomků, musíme ověřit, zda tuto operaci můžeme provést.
Jelikož víme, že 0! = 1, 1! = 1 a dále je faktoriál neklesající posloupností, nemůže se nikdy stát, že by n! = 0, tedy můžeme zlomky pokrátit.
x + (x-3) = 2x - 3
Upravujeme
2x - 3 = 2x - 3
2x = 2x
x = x
Jelikož relace ekvivalence je reflexivní, jsou výsledkem všechna reálná čísla x, pro která platí omezení
x >= 4 ∧ x ∈ N ∪ {0},
tedy řešením je množina {x ∈ N ∪ {0}| x >= 4}.
moc děkuji za odkaz! Teď vidím, že vlastně stačí jen smazat část url, předtím jsem to takto nezkoumal. Určitě tuto informaci příště využiji. Děkuji tedy a přeji pěkný večer.
váš předchozí postup je nesmírně chaotický, některé řádky bych označil přímo za ztřeštěné žonglování s matematikou. Vidím ale, že jste k částečnému výsledku nakonec dospěla, což je pozitivní.
Závěr je tedy takový:
Vždy, než začnete řešit jakoukoli rovnici, tedy vždy, než se pustíte do prvních deduktivních kroků a než začnete cokoliv upravovat, investuje několik krátkých okamžiků do úvahy, zda by nebylo vhodné stanovit podmínky řešitelnosti, tedy zda ze zadání nevyplývají nějaká nezbytná a nezanedbatelná omezení.
V matematice je to provždy platné nařízení pro všechna naše pokolení ve všech našich sídlištích.
Minimálně v rovnicích se zlomky, s logaritmy a s kombinačními čísly je to absolutně nezbytné. O složitějších záležitostech nemluvě.
Dále zkuste uvést, proč vás tak překvapilo, že jako výsledek vyšla identita, případně co je vám nejasné. Já nebo kdokoliv jiný s vámi určitě velmi ochotně probere jakýkoliv aspekt řešení podobných problémů a vysvětlí všechny nejasnosti.
Pro porovnání stejný obrázek, stejná informační hodnota, zhruba 500x600 bodů a 0,04MB (38KB), neboli 80x MENŠÍ velikost souboru.