logaritmické rovnice řešení příkladu číslo 74

Anonym Ruqusit22.02.2021 14:50 Nahlásit
log₉ (3x+9) - log₉(x-7)=log₉(4)

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Wydygiz22.02.2021 15:06 (Upr. 22.02.2021 15:08) Nahlásit
Přeji pěkné odpoledne, Anonyme Ruqusite,

pro začátek je zcela esenciální zavedení podmínek řešitelnosti. Na to nikdy nesmíme zapomenout. Definičním oborem logaritmu jsou pouze kladná reálná čísla, tedy řešíme nerovnice

3x + 9 > 0 <=> x > -3
x - 7 > 0 <=> x > 7

Tyto podmínky musí platit zároveň. Průnik odpovídajících intervalů je (7, ∞). Právě na tomto intervalu budeme rovnici dále řešit.

Využijeme vzorec pro logaritmus podílu. Pro kladné hodnoty a, b platí log(a) - log(b) = log(a/b), což využijeme i zde. Nemusíme určovat novou podmínku pro jmenovatel zlomku, neboť ta už je zahrnuta v definičním oboru logaritmu.

log₉ (3x+9) - log₉(x-7) = log₉(4)
log₉ ((3x+9)/(x-7)) = log₉(4)

Jelikož logaritmus je injektivní funkce, existuje k ní funkce inverzní. K funkci log₉(x) je inverzní funkcí 9^x. Tato funkce musí být také nutně injekcí, proto lze obě strany rovnice napsat jako argument funkce 9^x

9^(log₉ ((3x+9)/(x-7))) = 9^(log₉(4))

Složení funkce s funkcí k ní inverzní funguje následovně: f(f^-1(x)) = x, což využijeme:

(3x + 9)/(x - 7) = 4

Můžeme beztrestně násobit výrazem (x-7), protože jsme dříve stanovili podmínky řešitelnosti.

3x + 9 = 4(x - 7)

3x + 9 = 4x - 28
37 = x

Tento výsledek není v rozporu s podmínkami řešitelnosti, řešením je tedy x = 37.
Anonym Wilobum22.02.2021 15:10 Nahlásit
Matiku vůbec neumím, ale zkusím to.
Pokud si vzpomínám tak logaritmus podílu je stejný, jako rozdíl logaritmů log (a/b) = log a - log b, ne?
Takže by to pak bylo:

log₉ (3x+9)/(x-7) = log₉(4)

A když se rovnaj logaritmy, tak se musí rovnat i to, co se logaritmuje, čili se udělá to odlogaritmování nebo jak se tomu řiká, prostě je dám pryč, takže zbyde:

(3x+9)/(x-7) = 4

A to už je rovnice o jedný neznámý, takže upravuju:
3x + 9 = 4x - 28
37 = x
x = 37

Ale radši počkáme, až to někdo zkontroluje.
Anonym Wilobum22.02.2021 15:11 Nahlásit
Tak než jsem to naťukal, tak to Wydygiz vyřešil, koukám. A protože to má jako já, tak to má asi dobře :-).
Anonym Votitud22.02.2021 15:13 Nahlásit
Zkontroloval jsem oba příspěvky a prohlašuji výsledek 37 za platný :)
Anonym Wilobum22.02.2021 15:14 Nahlásit
Tím můžeme losování výsledků ukončit a těšíme se opět za týden.
Anonym Ruqusit22.02.2021 15:15 Nahlásit
log₉(3x+9)-log₉(x-7)=log9(4) x= (7;∞)
log₉(3(x+3))-log₉(x-7)=log₉(4)
log₉(3)+log₉(x+3)-log₉(x-7)=log₉(4)
log₃²(3)+log₉(x+3)-log₉(x-7)=log₉(4)
1/2+log₉(x+3)-log₉(x-7)=log₉(4)
(1+2log₉(x+3)-2log₉(x-7))/2=log₉(4)
1+2log₉(x+3)-2log₉(x-7)=2log₉(4)
log₉(9)+log₉((x+3)²)+log₉((x-7)⁻²)=log₉(4²)
log₉(9(x+3)²*1/(x-7)²)=log₉(4²)
9(x+3)²/(x-7)²=4²
9(x+3)²/(x-7)²=16
3(x+3)/(x-7)=+-4
3x+9/x-7=+-4
x=37
x=19/7 x(7;∞)
x=37
Přidat komentář do diskuze ▾