Prosím potřebovala bych pomoc s tímto příkladem
Děkuji
Odpovědi
Řešení údajně pomocí trigonometrické substituce.
Dodatek: Koukám podrobněji na tu substituci a nějak nechápu, kde to AI vzalo cos^3(x) = 1 - sin^2(x), ale WolframAlpha vrací stejný výsledek, takže tomu zjevně nerozumím.
Dodatek č.2: Grok níže to ukazuje zdarma rozepsané a už mi to dává smysl.
Dodatek: Koukám podrobněji na tu substituci a nějak nechápu, kde to AI vzalo cos^3(x) = 1 - sin^2(x), ale WolframAlpha vrací stejný výsledek, takže tomu zjevně nerozumím.
Dodatek č.2: Grok níže to ukazuje zdarma rozepsané a už mi to dává smysl.
Zdroje
- Originál obrázku [1,7 MB]: https://ff1.ontola.com/f/2025-12/03/img_20251203_231943.jpg
- Postup řešení: https://www.symbolab.com/solver/integral-calculator/%5Cint%20%5Cfrac%7Bcos%5E%7B3%7Dx%7D%7Bsin%5E%7B2%7Dx%20%2B%201%7Ddx?or=input
- Stejný výsledek: https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+cos%5E3%28x%29%2F%28sin%5E2%28x%29%2B1%29
Stejný obrázek, ale 907× menší (1,7 MB → 1,8 KB)
---------------------------------------------------------------------
I need to solve the integral: ∫ cos³(x) / (sin²(x) + 1) dx.
The denominator is sin²(x) + 1, and the numerator has cos³(x). I can write cos³(x) = cos²(x) · cos(x) = (1 - sin²(x)) cos(x).
Let u = sin(x), then du = cos(x) dx.
The integral becomes:
∫ cos²(x) · cos(x) dx / (sin²(x) + 1) = ∫ (1 - sin²(x)) cos(x) dx / (sin²(x) + 1)
Substitute u = sin(x):
∫ (1 - u²) du / (u² + 1)
So the integral is ∫ (1 - u²) / (u² + 1) du
Split this:
∫ (1 - u²) / (u² + 1) du = ∫ [ (1 - u²) / (u² + 1) ] du = ∫ [ (u² + 1 - 2u²) / (u² + 1) ] du = ∫ [1 - 2u²/(u² + 1)] du
Better way:
1 - u² = (u² + 1) - 2u²
So (1 - u²)/(u² + 1) = 1 - 2u²/(u² + 1)
Yes!
So ∫ [1 - 2u²/(u² + 1)] du = ∫ du - 2 ∫ u²/(u² + 1) du
First term: ∫ du = u
Second term: u²/(u² + 1) = [ (u² + 1) - 1 ] / (u² + 1) = 1 - 1/(u² + 1)
So ∫ u²/(u² + 1) du = ∫ [1 - 1/(u² + 1)] du = u - arctan(u)
Therefore:
∫ (1 - u²)/(u² + 1) du = u - 2(u - arctan(u)) + C = u - 2u + 2 arctan(u) + C = -u + 2 arctan(u) + C
Back-substitute u = sin(x):
**∫ cos³(x)/(sin²(x) + 1) dx = -sin(x) + 2 arctan(sin(x)) + C**
Let me verify by differentiating:
d/dx [ -sin(x) + 2 arctan(sin(x)) ] = -cos(x) + 2 · (1/(1 + sin²(x))) · cos(x) = cos(x) [ -1 + 2/(1 + sin²(x)) ]
= cos(x) [ (-1 - sin²(x) + 2)/(1 + sin²(x)) ] = cos(x) (1 - sin²(x))/(1 + sin²(x)) = cos(x) · cos²(x) / (1 + sin²(x)) = cos³(x)/(1 + sin²(x))
Yes, perfect!
So the final answer is:
**−sin(x) + 2 arctan(sin(x)) + C**