Slovní úlohy o pohybu
Prosím pomůžete mi z tato slovní úlohu
Kdy a kde se potkají dvě auta, která vyjela současně proti sobě z měst A a B
vzdálených 90 km, jestliže auto ze města A jede rychlostí 75 km/h a auto z města B
rychlostí 60 km/h?
💫Děkuji moc
Kdy a kde se potkají dvě auta, která vyjela současně proti sobě z měst A a B
vzdálených 90 km, jestliže auto ze města A jede rychlostí 75 km/h a auto z města B
rychlostí 60 km/h?
💫Děkuji moc
Odpovědi
Diskuze
zavedeme funkce popisující pohyby obou aut, které zobrazí časový okamžik na vzdálenost od města A, tedy přímka y = 0 značí město A, přímka y = 90 představuje město B vzdálené 90 km od města A. Města zde simulujeme přímkou (nikoliv bodem), neboť každý bod na přímce označuje jiný okamžik příjezdu do města. Čas v hodinách popisuje proměnná x. Proměnná y značí vzdálenost od města A v kilometrech.
f(x) je funkce pohybu prvního auta, g(x) je funkce pohybu druhého auta.
Jistě platí, že f(0) = 0, tedy první auto se v čase nula nachází ve městě A.
Rovněž g(0) = 90, tedy druhé auto se v čase nula nachází 90 km od města A, tedy ve městě B.
Rychlost je změna dráhy za čas, tedy f'(x) = 75
a
g'(x) = -60, protože se pohybujeme opačným směrem.
Řešíme dvě diferenciální rovnice prvního řádu se stanovenými Cauchyho podmínkami.
1.
f'(x) = 75
f(0) = 0
∫f'(x) dx = ∫75 dx
f(x) = 75x + C, C € R
f(0) = 0,
tedy f(x) = 75x
2.
g'(x) = -60
g(0) = 90
∫g'(x) dx = ∫-60 dx
g(x) = -60x + C, C € R
g(0) = 90,
tedy
g(x) = -60x + 90
Nyní nalezněme takové x, kde f(x) = g(x).
Jedná se o lineární funkce, tedy bude existovat jedno řešení, žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení.
-60x + 90 = 75x
135x = 90
x = 90/135 = 2/3
Auta se potkají v čase 2/3 hodin po startu.
f(90/135) = 75 * 90 / 135 = 50
Auta se potkají ve vzdálenosti 50 km od města A.
Vyřešíme to typicky pro ZŠ(SŠ) s aplikací fyziky: v = s/t => s=vt
Označme si následovně veličiny:
v1... je rychlost auta, které vyjelo z města A (75 km/h)
v2... je rychlost auta, které vyjelo z města B (60 km/h)
t je doba pohybu obou aut z měst A nebo B do setkání
s1 je vzdálenost, kterou urazí auto z města A do setkání ..
s2 je vzdálenost, kterou urazí auto z města B do setkání
s ... je vzdálenost měst A a B (90 km)
Víme, že platí s1 = v1t a s2=v2t.... Také víme, že celkový dráha s = s1 + s2. Nyní dosadíme do těch vztahů to, co známe.
s1=75*t, s2=60*t. Z toho plyne že s = 75*t + 60*t a my známe i dráhu s, takže:
90 = 75t + 60t --- řešíme lineární rovnici o 1 neznámé:
90 = 135t => t = 2/3 hod. se potkají a ve vzdálenosti: s1 = 75*2/3 = 50 km od stanice Anebo s2 = 60*2/3 = 40 km od stanice B.
Může být?
🌟Přejí krásný den.