povrch pravidelného devítibokého jehlanu
Délka podstavných hran pravidelného devítibokého jehlanu je a=2cm, délka jeho bočních hran je b=10 cm.
Je povrch 114 cm2 ?
Je povrch 114 cm2 ?
Odpovědi
Diskuze
b=10 cm
n=9
Podstava P:
z kosinové věty je možné určit poloměr kružnice opsané podstavě (podstava je tvořena n rovnostrannými trojúhelníky o vrcholovém úhlu: 2π/n):
a*a=2*R*R-2R*R*cos(2π/n)
a*a=2*R*R( 1-cos(2π/n) )
R*R=a*a/2/( 1-cos(2π/n) )
poloměr kružnice podstavě vepsané je výškou trojúhelníka v podstavě:
R*R - (a/2)*(a/2) = r*r
Plocha jednoho trojúhelníku z podstavy:
S∆ = a * r/2 = (a/2) * r
Plocha podstavy:
P=n*S∆
P=n*(a/2) * r
P=n*(a/2) * √( R*R - a*a/4 )
P=n*(a/2) * √( a*a/2/( 1-cos(2π/n) ) - a*a/4 )
obecná plocha n-úhelníku:
P=n*(a*a/4) * √( 2/( 1-cos(2π/n) ) - 1 )
P=n*(a*a/4) * cotg(π/n)
P=n*(a*a/4) / tg(π/n)
========================================
Plášť Q:
v - výška jehlanu
s - spádová přímka strany pláště
v*v+R*R=b*b
v=√(b*b-R*R)
v=√(b*b - a*a/2/( 1-cos(2π/n) ))
s*s=r*r+v*v
s*s=R*R - a*a/4 + v*v
S∆ = a * s/2
plášť:
Q=n*S∆
Q=n*a*√(R*R - a*a/4 + v*v)/2
Q=n*a*√(R*R - a*a/4 + b*b - R*R)/2
Q=n*(a*a/4) * √(4*(b*b)/(a*a) - 1 )
===================================
Povrch=P+Q
P=9*(2*2/4) * ( 2/( 1 - (360/9)o ) - 1 )i@=24,727296775091600508854976238479 cm2
Q=9*(2*2/4) * ( 4*(10*10)/(2*2) - 1 )i@=89,548869339595795926103183890109 cm2
Povrch=P+Q=114,27616611468739643495816012858 cm2
Povrch=P+Q=114,27 cm2
=====================
V=P*v/3
V=n*(a*a/4) * √( 2/( 1-cos(2π/n) ) - 1 ) * v/3
V=n*(a*a/4) * √( ( 1+cos(2π/n) )/( 1-cos(2π/n) ) ) * v/3
cotg(α/2)=√(1+cos(α))/√(1-cos(α))
V=n*(a*a/4) * cotg(π/n) * v/3
V=n*(a*a/4) / tg(π/n) * v/3
výška:
v=b*b*√( ( 1 - (a*a)/(b*b)/2/(1-cos(2π/n)) )
v=√( ( b*b - (a*a)/(4*sin²(π/n)) )
objem:
V=n*(a*a/4) / tg(π/n) * √(b*b - a*a/2/( 1-cos(2π/n) )) / 3
V=n*(a*a/4) / tg(π/n) * √( b*b - a*a/(4*sin²(π/n)) )